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如何突破数学真假命题难点?

发布者:思学佳教育 时间:2017-10-26 16:53:03

一、 定位整体

新课程标准对“常用逻辑用语”的定位为:“正确使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质,无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思想.在本模块中,同学们将在义务教育的基础上,学习常用逻辑用语,体会逻辑用语在表述和论证中的作用,利用这些逻辑用语准确地表达数学内容,更好地进行交流.” 因此,深圳课外辅导机构分享学习逻辑用语,不仅要了解数理逻辑的有关知识,还要体会逻辑用语在表述或论证中的作用,使以后的论证和表述更加准确、清晰和简洁.

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二、 明确重点

“常用逻辑用语”分成三大节,分别为:命题及其关系,简单的逻辑联结词,全称量词与存在量词.

“命题及其关系”分两小节:一、“四种命题”,此节重点在于四种命题形式及其关系,互为逆否命题的等价性;二、“充分条件和必要条件”,此节重点在于充分条件、必要条件、充要条件的准确理解以及正确判断.

“简单的逻辑联结词”重点在于“且”、 “或”、 “非”这三个逻辑联结词的理解和应用.

“全称量词与存在量词”重点在于理解全称量词与存在量词的意义,以及正确做出含有一个量词的命题的否定.


三、 突破难点

1. “四种命题”的难点在于分清命题的条件和结论以及判断命题的真假

例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.

(1) 全等三角形的面积相等;

(2) m>时,方程mx2-x+1=0无实根;

(3) 若sinα≠,则α≠30°.

解析 (1) 条件为两个三角形全等,结论为它们的面积相等.因此,原命题即为“若两个三角形全等,则它们的面积相等”,逆命题为“若两个三角形面积相等,则它们全等”,否命题为“若两个三角形不全等,则它们的面积不相等”,逆否命题为“若两个三角形面积不相等,则它们不全等”.根据平面几何知识,易得原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.

(2) 原命题即为“若m>,则方程mx2-x+1=0无实根”,逆命题为“若方程mx2-x+1=0无实根,则m>”,否命题为“若m≤,则方程mx2-x+1=0有实根”,逆否命题为“若方程mx2-x+1=0有实根,则m≤”.根据判别式Δ=1-4m的正负可知,原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.

(3) 原命题即为“若sinα≠,则α≠30°”,逆命题为“若α≠30°,则sinα≠”,否命题为“若sinα=,则α=30°”,逆否命题为“若α=30°,则sinα=”.直接判断原命题与逆命题真假有些困难,但考虑到原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价,因此可以先考虑逆否命题和否命题;由三角函数的知识,可知原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.

突破 深圳课外辅导机构分享 对于判断命题的真假,我们需要先弄清何为条件、何为结论,然后根据相应的知识进行判断,当原命题不容易直接判断时,可以先判断其逆否命题的真假性,从而得到原命题的真假性.


2. “充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断

例2 在下列命题中,判断p是q的什么条件.(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种)

(1) p:|p|≥2,p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有实根.

(2) p:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切;q:c2=(a2+b2)r2,其中a2+b2≠0,r≠0.

(3) 设集合M={x|x>2},N={x|x<3},p:x∈M∩N;q:x∈M∪N.

解析 (1) 当|p|≥2时,例如p=3,此时方程x2+px+p+3=0无实根,因此“若p则q”为假命题;当方程x2+px+p+3=0有实根时,根据判别式有p≤-2或p≥6,此时|p|≥2成立,因此“若q则p”为真命题.故p是q的必要不充分条件.

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