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高考数学备考:10种方法求函数值域

发布者:思学佳教育 时间:2017-12-20 16:15:02

一、反函数法:当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例1求函数y=(x+1)(x+2)的值域。

点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y(y-1),其定义域为y产1的实数,故函数y的值域为(yly#1,y=R}。

点评:深圳课外培训利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是解题的重要方法之一。


二、配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合

函数时,可以利用配方法求函数值域

例2:求函数y=(-×2+x+2)的值域。

点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。

解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为xE[-1,2]。此时-×2+×+2=-(x-1/2)2+9/4=[0,9/4].0≤V-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要思想方法。

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三、判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例3求函数y=(2×2-2x+3)/(×2-x+1)的值域。

点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。

解:将上式化为(y-2)×2-(y-2)x+(y-3)=0(*)当y2时,由A=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2当y=2时,方程(*)无解。.函数的值域为2点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+bt(cx2+dx+e)的函数。


四、最值法:对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例4已知(2x2-x-3)/(3×2+x+1)50,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。

解:“3×2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2×2-x-350同解,解之得-1sx≤3/2,又x+y=1,将y=1x代入z=xy+3x中,得z=-×2+4x(-1sx≤3/2),.z=-(x-2)2+4且x=[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。

当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。.函数z的值域为{2|-5sz≤15/4}。

点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。


五、单调法:利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例5求函数y=4x-V1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)=-V1-3x,y=f(x)+gx),

其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。

解:设(x)=4x,g(x)=-V1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-V1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且ysf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为(yly≤4/3}。

点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。


六、换元法:以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。

例6求函数y=x-3+v2x+1的值域。

点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。

解:设t=V2x+1(te0),则x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-421/2-4=-7/2.

所以,原函数的值域为(ylye-7/2}。

点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。


七、构造法:根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。

例7求函数y=Vx2+4x+5+V×2-4x+8的值域。

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。

解:原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+V(2-×)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+X,AK=(2-x)2+22,KC=v(x+2)2+1。

由三角形三边关系知,AK+KC2AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。.原函数的知域为(yly≥5}。

点评:对于形如函数y=v×2+a±(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。


八、比例法:对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。

例8已知X,y=R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨:将条件方程3x4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。

解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

x=3+4k,y=1+3k,

z=×2+y2=(3+4k)2+(14+3K)2=(5k+3)2+1。

当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。

函数的值域为{zlz≥1}.

点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化

为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。


九、利用多项式的除法

例9求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和

解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1(x+1)。

1/(x+1)*0,故y3。

函数y的值域为y3的一切实数。

点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)形式的函数均可利用该方法。


十、不等式法

例10求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。

解:易求得原函数的反函数为y=l0g3[x/(1-x)],

由对数函数的定义知x/(1-x)>0

函数的值域(0,1)。

点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要

不等式,求出函数定义域,进而求值域。

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